Суррогатное моделирование временной эволюции для задачи Римана Бакли–Леверетта с использованием нейронного оператора Фурье

Аннотация

Уравнение Бакли–Леверетта - это фундаментальная модель двухфазной фильтрации в пористых средах, широко применяемая в нефтегазовом инжиниринге для описания процесса заводнения. Аналитическое решение этой нелинейной гиперболической задачи содержит разрывные ударные волны (скачки) и требует применения условия энтропии Олейник для выбора физически допустимого слабого решения. В данном исследовании изучается способность нейронного оператора Фурье (FNO) аппроксимировать карту временной эволюции решения фиксированной задачи Римана для уравнения Бакли–Леверетта при соотношении подвижностей фаз M = 1. В отличие от обучения операторов на семействе начальных условий, мы рассматриваем суррогатное моделирование, где входными данными являются фиксированный начальный профиль насыщенности и момент времени, а выходными — профиль насыщенности в этот момент времени. Обучающий набор данных включает 1000 временных срезов одного аналитического решения, полученного методом характеристик с соблюдением условия Рэнкина–Гюгонио для случайно выбранных моментов времени T ∈ [0.01, 1.0]. Обученная модель FNO продемонстрировала высокую точность аппроксимации: относительная ошибка L2 составила 0.0191 +- 0.0253, коэффициент детерминации R2 = 0.997 +- 0.0127, а средняя абсолютная ошибка MAE = 0.0023 +- 0.0016. Положение фронта вытеснения (скачка) было предсказано со смещением менее одного шага пространственной сетки (4 x 10^-4) во всех временных квартилях. Основным ограничением стали осцилляции Гиббса вблизи разрыва, проявившиеся в виде локальных колебаний. Результаты показывают, что архитектура FNO способна эффективно аппроксимировать структуру разрывного решения фиксированной задачи Римана, включая зону разрежения и положение фронта насыщенности.